前言

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本文用于测试 MathJax 3.2.2 的公式渲染，写法遵循官方 Chirpy 主题规范：块级公式用 $$...$$，行内公式用 $...$（不要用 ```math 围栏，kramdown GFM 会把它当代码块渲染）。

1. 行内公式

当 $a \ne 0$ 时，方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 有两个解，这是爱因斯坦的质能方程 $E = mc^2$，以及欧拉公式 $e^{i\pi} + 1 = 0$。

2. 块级公式（基础）

\[x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\] \[\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}\] \[\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx = \sqrt{\pi}\]

3. 编号公式与引用（equation + label）

\[\begin{equation} \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} \label{eq:gauss} \end{equation}\]

高斯定理如公式 $\eqref{eq:gauss}$ 所示，其中 $\rho$ 是电荷密度。

\[\begin{equation} \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \label{eq:ampere} \end{equation}\]

安培-麦克斯韦定律见公式 $\eqref{eq:ampere}$，两个公式 $\eqref{eq:gauss}$ 和 $\eqref{eq:ampere}$ 同属麦克斯韦方程组。

4. 多行对齐（align）

\[\begin{align} f(x) &= (x + 1)^2 \\ &= x^2 + 2x + 1 \\ &= x^2 + 2x + 2 - 1 \end{align}\] \[\begin{align} \frac{\partial u}{\partial t} &= \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \\ \frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} &= 0 \end{align}\]

5. 矩阵

\[\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{pmatrix}\] \[A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}, \quad \det(A) = 0\]

6. 分数、上下标、希腊字母

\[\frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2} = 0\]

希腊字母表：$\alpha, \beta, \gamma, \delta, \varepsilon, \zeta, \eta, \theta, \lambda, \mu, \nu, \pi, \rho, \sigma, \tau, \phi, \omega, \Gamma, \Delta, \Theta, \Lambda, \Sigma, \Omega$

7. 求和、积分、极限

\[\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = e\] \[\oiint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_V \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV\] \[\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^k y^{n-k} = (x + y)^n\]

8. 特殊运算符

\[a \approx b, \quad a \ne b, \quad a \times b, \quad a \div b, \quad a \pm b, \quad a \le b, \quad a \ge b, \quad a \in S, \quad A \subset B, \quad A \cap B, \quad A \cup B\] \[\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \text{使得} |x - x_0| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon\]

9. 长公式（测试横向滚动）

\[P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots, \quad E(X) = \operatorname{Var}(X) = \lambda, \quad \hat{\theta}_{MLE} = \arg\max_{\theta} \prod_{i=1}^{n} f(x_i; \theta)\]

10. 代码块中的美元符号（应保持原样，不被渲染）

代码块里的 $price 和 ${price} 都不应触发公式渲染。

11. 混合排版测试

傅里叶变换 $F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} \, dt$ 是信号处理的核心工具，其逆变换为：

\[f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{i\omega t} \, d\omega\]

GPU 对齐计算（呼应之前的文章）：

\[\text{offset} = \frac{\text{size} + \text{alignment} - 1}{\text{alignment}} \times \text{alignment} = \left\lceil \frac{\text{size}}{\text{alignment}} \right\rceil \times \text{alignment}\]

12. 进阶公式综合测试

12.1 分段函数与矩阵变体（cases / vmatrix）

\[f(x) = \begin{cases} x^2, & x \ge 0 \\ -x^2, & x < 0 \end{cases}\] \[\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc, \quad \begin{Vmatrix} 1 \\ 2 \end{Vmatrix} = \sqrt{5}\]

12.2 装饰结构（boxed / overbrace / underbrace / xrightarrow / substack / cancel）

\[\boxed{E = mc^2}\] \[\underbrace{(a + b + \cdots + z)}_{26\ \text{项}}, \quad \overbrace{a + a + \cdots + a}^{n\ \text{项}}\] \[A \xrightarrow{\text{旋转}} B \qquad A \xleftarrow{\text{逆旋转}} A\] \[\sum_{\substack{0 \le i \le n \\ 0 \le j \le i}} a_{ij} = \sum_{i=0}^{n} \sum_{j=0}^{i} a_{ij}\] \[\frac{a}{\cancel{b}} \cdot \cancel{b} = a\]

12.3 级数展开

\[e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots\] \[f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos\frac{n\pi x}{L} + b_n \sin\frac{n\pi x}{L} \right)\]

12.4 概率与统计

\[P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) \, P(A)}{P(B)}\] \[p(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma} \exp\left( -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} \right)\] \[\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i, \quad s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2\]

12.5 矢量分析（梯度 / 散度 / 旋度）

\[\nabla f = \frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\mathbf{j} + \frac{\partial f}{\partial z}\mathbf{k}\] \[\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}\] \[\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix}\]

12.6 物理经典方程

麦克斯韦方程组（微分形式）：

\[\begin{align} \nabla \cdot \mathbf{E} &= \frac{\rho}{\varepsilon_0} \\ \nabla \cdot \mathbf{B} &= 0 \\ \nabla \times \mathbf{E} &= -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \\ \nabla \times \mathbf{B} &= \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \end{align}\]

薛定谔方程：

\[i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbf{r},t) = \left( -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\mathbf{r}) \right) \Psi(\mathbf{r},t)\]

欧拉-拉格朗日方程：

\[\frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} = 0\]

12.7 线性代数

\[\mathbf{A}\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}, \quad \mathbf{A} = \mathbf{P}\mathbf{D}\mathbf{P}^{-1}, \quad \mathbf{A} = \mathbf{U}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{V}^{\mathsf{T}}\] \[\operatorname{tr}(\mathbf{A}) = \sum_{i=1}^{n} a_{ii}, \quad \operatorname{rank}(\mathbf{A}\mathbf{B}) \le \min\{\operatorname{rank}(\mathbf{A}), \operatorname{rank}(\mathbf{B})\}\]

12.8 机器学习常用公式

\[\text{softmax}(z_i) = \frac{e^{z_i}}{\sum_{j=1}^{K} e^{z_j}}, \quad \mathcal{L} = -\sum_{i=1}^{C} y_i \log \hat{y}_i\] \[\text{Attention}(Q, K, V) = \text{softmax}\left( \frac{QK^{\mathsf{T}}}{\sqrt{d_k}} \right) V\] \[\nabla_{\theta} J(\theta) = \mathbb{E}_{\pi_{\theta}} \left[ \sum_{t=0}^{T} \nabla_{\theta} \log \pi_{\theta}(a_t \mid s_t) \, G_t \right]\]

12.9 公式内中文（\text 测试）

\[\text{速度} = \frac{\text{路程}}{\text{时间}}, \quad \text{压强} = \frac{F}{S}\]

13. 数学符号读音速查表

整理自《数学符号读音速查表》，共 11 大类。表格中第三列给出对应的 LaTeX 命令。

13.1 基础运算符号

13.2 比较与大小关系

13.3 指数 · 根号 · 对数

13.4 集合符号

13.5 微积分符号

13.6 逻辑符号

13.7 几何符号

13.8 概率与统计符号

13.9 线性代数符号

13.10 其他常见符号

13.11 希腊字母表（数学常用）